高中數學常見添加輔助線方法,一定要收藏!
時間:2020-01-22 13:50 來源:納思書院 分類:學習方法 瀏覽次數:487次

幾何最難的地方就是輔助線的添加了,但是對于添加輔助線,還是有規律可循的。小編給大家整理了一些常見的添加輔助線的方法,掌握了對你一定有幫助!


一、三角形中常見輔助線的添加

1. 與角平分線有關的


(1) 可向兩邊作垂線

(2)可作平行線,構造等腰三角形

(3)在角的兩邊截取相等的線段,構造全等三角形

2. 與線段長度相關的

(1) 截長:證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時,經常在較長的線段上截取一段,使得它和其中的一條相等,再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可。

(2) 補短:證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時,也可以在較短的線段上延長一段,使得延長的部分等于另外一條較短的線段,再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可。

(3)倍長中線:題目中如果出現了三角形的中線,方法是將中線延長一倍,再將端點連結,便可得到全等三角形。

(4)遇到中點,考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。

3. 與等腰等邊三角形相關的

(1)考慮三線合一

(2)旋轉一定的度數,構造全都三角形,等腰一般旋轉頂角的度數,等邊旋轉60 °



二、四邊形中常見輔助線的添加

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解決一些和四邊形有關的問題時往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。


1. 和平行四邊形有關的輔助線作法

平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一,它有許多性質可以利用,為了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形。

(1) 利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形

(2)利用兩組對邊平行構造平行四邊形

(3)利用對角線互相平分構造平行四邊形

2. 與矩形有關輔助線作法

(1)計算型題,一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股定理解決問題

(2)證明或探索題,一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題。和矩形有關的試題的輔助線的作法較少。

3. 和菱形有關的輔助線的作法

和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線,借助菱形的判定定理或性質定理解決問題。

(1)作菱形的高

(2)連結菱形的對角線

4. 與正方形有關輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,有關正方形的試題較多。解決正方形的問題有時需要作輔助線,作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線。



三、圓中常見輔助線的添加

1. 遇到弦時(解決有關弦的問題時)


常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半徑(或直徑)或再連接過弦的端點的半徑。

作用:

① 利用垂徑定理

② 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系

③ 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形,根據勾股定理求有關量

2. 遇到有直徑時,常常添加(畫)直徑所對的圓周角

作用:利用圓周角的性質得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圓周角時 ,常常連結兩條弦沒有公共點的另一端點

作用:利用圓周角的性質,可得到直徑

4. 遇到弦時,常常連結圓心和弦的兩個端點,構成等腰三角形,還可連結圓周上一點和弦的兩個端點

作用:①可得等腰三角形

②據圓周角的性質可得相等的圓周角

5. 遇到有切線時,常常添加過切點的半徑(連結圓心和切點)

作用:利用切線的性質定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形

或常常添加連結圓上一點和切點

作用:可構成弦切角,從而利用弦切角定理

6. 遇到證明某一直線是圓的切線時

(1) 若直線和圓的公共點還未確定,則常過圓心作直線的垂線段

作用:若OA=r,則l為切線

(2) 若直線過圓上的某一點,則連結這點和圓心(即作半徑)

作用:只需證OA⊥l,則l為切線

(3) 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線

7. 遇到兩相交切線時(切線長)

常常連結切點和圓心、連結圓心和圓外的一點、連結兩切點

作用:據切線長及其它性質,可得到

① 角、線段的等量關系

② 垂直關系

③ 全等、相似三角形

8. 遇到三角形的內切圓時

連結內心到各三角形頂點,或過內心作三角形各邊的垂線段

作用:利用內心的性質,可得

① 內心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線

② 內心到三角形三條邊的距離相等

9. 遇到三角形的外接圓時,連結外心和各頂點

作用:外心到三角形各頂點的距離相等

10. 遇到兩圓外離時(解決有關兩圓的外、內公切線的問題)

常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線,或平移連心線

作用:①利用切線的性質;②利用解直角三角形的有關知識

11. 遇到兩圓相交時

常常作公共弦、兩圓連心線、連結交點和圓心等

作用:① 利用連心線的性質、解直角三角形有關知識

② 利用圓內接四邊形的性質

③ 利用兩圓公共的圓周的性質

④ 垂徑定理

12.遇到兩圓相切時

常常作連心線、公切線

作用:① 利用連心線性質;② 切線性質等

13. 遇到三個圓兩兩外切時

常常作每兩個圓的連心線

作用:可利用連心線性質

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